دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

مهدی ابراهیمی صیقلان
Mahdi ebrahimi seyghalan

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

فرستنده:
مشاهده: 1110 بار

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود :

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از :

۰ , ۱ , ۱ , ۲ , ۳ , ۵ , ۸ , ۱۳ , ۲۱ , ۳۴ , ۵۵ , ۸۹ , ۱۴۴ , ۲۳۳ , ۳۷۷ , ۶۱۰ , ۹۸۷ , ۱۵۹۷ , ۲۵۸۴ , ۴۱۸۱ , ۶۷۶۵ , ۱۰۹۴۶

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است .

دنباله فیبوناچی

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراتور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد :

« فرض کنیم خرگوش‌هایی وجود دارند که هر جفت (یک نر و یک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگی‌شان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می‌کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می‌کنند حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی‌میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده‌اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت .»

فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x _۲ = ۱ ,x _۱ = ۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+ ۱ ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (x_n). اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهد بود با xn- ۱، پس خواهیم داشت :

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است .

۱ , ۱ , ۲ , ۳ , ۵ , ۸ , ۱۳ , ۲۱ , ۳۴ , ۵۵ , ۸۹ , ۱۴۴ , ۲۳۳ , ۳۷۷ , ۶۱۰ , ۹۸۷ , ۱۵۹۷ , ۲۵۸۴ ,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده .

رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است :

برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود .

[ ویرایش ] جمله عمومی دنباله فیبوناچی

چند فرمول برای احتساب جملهٔ n ام دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد .

, یکی از این فرمول هاست .

( فی) همان عدد طلایی است که برابر با : می‌باشد .

[ ویرایش ] ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم .

[ ویرایش ] نسبت دو عضو متوالی دنباله

اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم :

نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱

نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲

نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵

نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶

نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶

نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵

نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵

نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹

نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷

به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند .

[ ویرایش ] معادله خط

معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم . m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند. حال به جای m قرار می‌دهیم φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد . ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید. ،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳ ) ، ( ۱۳، ۸ ) ، ( ۸، ۵ ) ، ( ۵، ۳ ) ، ( ۳، ۲ ) ، ( ۲، ۱ ) ، ( ۱، ۱ )

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند .

ریاضیات جدید

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند . اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها F_n را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند .
پس F₁ =1 و F₂ =2 خواهد بود . چون در شروع ماه اول فقط يك جفت اصلي وجود دارد. اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست ميكند .

سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسيم ميشوند : F_n-1 تعداد جفتهاي قديمي و تعداد جفتهاي جديد پس از N-1 ماه است .چون جفت جديد پس از يك ماه توليد ميشود و بعد از يك ماه ديگر اولين جفت خود را توليد ميكند . تعداد جفتهاي جديد برابر تعداد جفتهاي دو ماه قبل است كه با F_n-1 نشان داده ميشود .

با استفاده از اين فورمول و مقادير اوليه F₁ =1 و F₂ =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوش ت F₁₂=233 .

( بطوري كه جمله هاي دنباله بصورت زير نوشته ميشوند)

حالا اگر در اين دنباله هر عدد را بر عددقبليش تقسيم کنيم چنين سری خواهيم داشت .

1 /₁ = 1, 2 /₁ = 2, 3 /₂ = 1 / 5, 5 /₃ = 1 / 666. 8 /₅ = 1 / 6, 13 /₈ = 1 / 625, 21 /₁₃ = 1 / 61538 و .

كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با: . 1/61803 3

نسبت طلايی در بدن انسان

در بدن انسان مثالهای بسيار فراوانی از اين نسبت طلايی وجود دارد. در شکل زير نسبت M/m يک نسبت طلايی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا ديد . به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلايی هستند :

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج دنباله فيبوناچي و عدد طلايي به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

اينها تنها چند مثال از وجود نسبت طلايی در بدن انسان بود که بدن انسان را در حد کمال زيبايی خود نشان می دهد .

فیزیک و .

هنرمندان قديمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به يك صحنه ، مجسمه يا بنا مدتها از تركيب تناسب طلايی استفاده كرده‌اند . تركيب مزبور يك تناسب رياضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبيعت ، مثلا در صدف‌های دريايی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و يا ساختار هندسي بازوهای ميله‌ای كهكشانهای مارپيچي موجود در كيهان يافت می‌شود . امروزه سرنخ‌هايي از اين نسبت طلايي در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژي ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان اين تناسب بخوبي قابل شناسايي است . به هر حال به كار بردن اين نسبت در طراحی‌هاي دستي و رشته‌هاي هنري كار راحتی نمی‌باشد ، براي اينكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپيچ رسيد و اين نقطه ، مركزی نامعلوم و غير قابل دسترس است و تا بي‌نهايت ادامه مي‌يابد . به علت سهولت در ترسيم‌ها و كارهاي عملي ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته می‌شود .

عكس‌هاي فوق مربوط به صدف‌هاي دريايي ، حلزون شنوايي گوش ، يك گردباد و يك كهكشان است .

در گل آفتاب‌گردان ، امتداد مسير دوران مارپيچ طلايي يا فيبوناچي در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده ميشود .

مستطيل طلايی ويژه

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي چيست ؟

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي تبار اهل پيزا حدود سال 1200 ميلادي مساله‌اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد به دنيا بياورند . اگر هيچ خرگوشي از بين نرود ، در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت ؟ البته در اين مسئله مي‌بايست قواعد و اصول فرضي و قراردادي زير مراعات شوند !

" شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شده‌اند .
خرگوشها پس از یك ماه بالغ می‌شوند .
دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتما باردار می‌شود .
در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده مي‌زايد .
خرگوش‌ها تا پايان سال نمی‌میرند . "

او براي حل اين مسئله به يك سري از اعداد يا بهتر است بگوييم به يك دنباله رسيد كه عبارت بود از . ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در اين دنباله هر عددي ( به غير از صفر و يك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلي خودش مي‌باشد ، به طور مثال 3+5=8 يا 1+2=3 و .

علت بر اينكه در پايان ماه اول ، جفت اول به بلوغ مي‌رسد و در پايان ماه دوم بعد از سپري كردن يك ماه بارداري ، يك جفت خرگوش متولد ميشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهيم داشت ، در پايان ماه سوم جفت اول يك جفت ديگر به دنيا مي‌آورد ولي جفت دوم به پايان دوران بلوغ خود ميرسد كه در كل سه جفت خواهيم داشت در پايان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل مي‌كنند و تبديل به چهار جفت ميشوند و جفت سوم به بلوغ مي‌رسد و در كل پنج جفت خواهيم داشت و الي آخر كه در پايان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهيم داشت .

توسعه هندسي اين دنباله يا سري از اعداد :

اين مستطيل را ، مستطيل فيبوناچي نيز مي‌نامند .

براي رسم مارپيچ طلايي يا فيبوناچي از راس ( گوشه ) هر مربع يك كمان به شعاعي برابر ضلع آن مربع رسم مي‌كنيم . به اين مارپيچ بدست آمده ، اسپيرال لگاريتمي هم گفته ميشود .

در رسم فوق دنباله را از عدد 20 شروع كرده‌ايم يعني سري اعداد 20،20،40،60،100 ، در واقع نسبت عرض مستطيل به طول آن را 1.6/1 در نظر گرفته‌ايم . رسم فوق توسط نرم‌افزار اتوكد رسم و با دقت 100.000.000/1 اندازه گذاري شده است و طريقه رسم به حد كافي واضح و روشن مي‌باشد و نكته جالب توجه اينكه براي رسم مارپيچ به اين روش ، مي‌بايست هفت كمان رسم شود كه عدد صحيح 12 براي شعاع كمان پنجم بدست مي‌آيد . مركز هر كمان با علامت جمع مشخص شده است .

به‌طور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطع‌هايي كه خطوط با زاويه قائمه يكديگر را قطع كرده‌اند ، ميتوان مستطيل و مارپيچ طلايي فيبوناچي را در رسم توسعه يافته ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسيار جزيي اين رسم با رسم قبلي مشاهده ميشود آنهم در كمانهاي 5 ، 6 ، 7 به علت تغيير جزيي در قطرهاي آبي رنگ و در تناسبات هندسي اختلافي وجود ندارد ، كه دال بر اين موضوع است كه تناسب طلايي در رسم ستاره داوود توسعه يافته جاري مي‌باشد و در مباحث بعدي توضيح خواهيم داد كه كليه موجوداتي كه در آنها تناسبات طلايي ديده ميشود ، تناسب خود را مديون اين ترسيم‌ها و ساختارهاي هندسي در ستاره داوود توسعه يافته هستند .

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به مركز رسم ستاره داوود توسعه يافته انتقال داده شده است .

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به نقطه ديگري انتقال داده شده است .

اينك اگر در اين دنباله ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ) هر عدد را به عدد قبلي‌اش تقسيم كنيم يك چنين سري را بدست مي‌آوريم :

1/1=1 ، 2/1=2 ، 3/2=1.5 ، 5/3=1.66. ، 8/5=1.6 ، 13/8=1.625 ، . ، 233/144=1.61805.

كه هر چقدر جلوتر برويم به‌نظر مي‌آيد كه به يك عدد مخصوص مي‌رسيم . اين عدد را عدد طلايي مي‌نامند كه اين عدد تقريبا برابر است با :

روش جبري براي بدست آوردن عدد طلايي :

مستطيلي به عرض 1 واحد و طول x را در نظر مي‌گيريم مسلما x بزرگتر از 1 مي‌باشد .

اينك بايد مقدار x را چنان تعيين كنيم ( بدست آوريم ) كه اگر مربعي به ضلع 1 واحد را از اين مستطيل جدا نماييم ، مستطيل بدست آمده كوچكتر ، متناسب مستطيل بزرگتر قبلي باشد ، يعني x/1=1/(x-1) a به بيان ساده‌تر ، نسبت طول به عرض مستطيل اول برابر نسبت طول به عرض مستطيل بدست آمده ( ‌مستطيل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفين تناسب ، يك معادله درجه 2 بدست مي‌آيد يعني x²-x-1=0 و با ريشه‌يابي اين معادله به ريشه‌هاي 1.6180 و 0.6180- دست مي‌يابيم .

روشهاي هندسي براي بدست آوردن عدد طلايي :

اگر يك مثلث متساوي‌الاضلاع رسم كنيم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دايره‌اي رسم كنيم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دايره‌ نارنجي ) و وسط دو ضلع مثلث را يافته و پاره خطي از آن دو نقطه تا محيط دايره ، رسم كنيم دو پاره خط با نسبت طلايي بدست مي‌آيد ( پاره خط زرشكي و سرخ آبي ) يعني

رسم زير روش ديگري براي رسم مستطيل طلايي ويژه و تناسبات طلايي ، و همچنين بدست آوردن عدد طلايي را نشان مي‌دهد .

جهت رسم يك مستطيل طلايي به نسبت عدد طلايي ابتدا يك مربع به ضلع يك واحد كشيده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پاييني اين مربع را پيدا مي‌كنيم . سپس يك قوس با شعاعي به اندازه وسط ضلع پاييني مربع تا گوشه سمت راست بالا مي‌كشيم تا طول مستطيل معلوم شود .

جالب است بدانيم كه نسبت ضلع بلندتر به ضلع كوتاه‌تر مستطيل طلايي كه نسبت طلايي ناميده مي‌شود ، در بسياري از طرح‌هاي هنري از قبيل معماري و خطاطي ظاهر مي‌شود . مطابق تحقيقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلايي است . همچنين ديوارهاي معبد پارتنون از مستطيل‌هاي طلايي ساخته شده است ! زيرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطيل‌ها با نسبت‌هاي طلايي به چشم خوشايندتر هستند و اين موضوع دال بر اين واقعيت است كه اين تناسبات هندسي در ذات انسان‌ها نيز شكل گرفته‌اند !

تعريف رياضي سري اعداد يا دنباله فیبوناچی و عدد طلايي ( في Φ ) :

غیر از دو عدد اول ( 0 و 1 ) اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آیند . اولین اعداد این سری عبارتند از :

این سري از اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌ است . طبق تعريف :

مقدار عددي حد فوق به عدد في يا همان . 1.618033 مي‌رسد . اگر عدد في را بتوان دو برسانيم مثل اين است كه يك واحد به عدد في افزوده باشيم يعني Φ²=Φ+1 و اگر عدد يك را بر في تقسيم كنيم مثل اين است كه يك واحد از عدد في كم كرده باشيم يعني :

عدد في را در مبناي دوجيني ميتوان به صورت 1.75 نوشت كه مقدار واقعي ، حقيقي و درستي جهت في مي‌باشد براي اينكه :

همانطور كه مي‌دانيم عدد 233 توالي دوازدهم سري يا دنباله فيبوناچي است يعني همان تعداد خرگوش‌ها در پايان ماه دوازدهم . و بدست آمدن عدد 1.75 در مبناي دوجيني براي مقدار في بيانگر اين موضوع است كه سيستم دوجينی از بعضی جهات راحت‌تر از سيستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از اين حقيقت ناشی می‌شود كه تعداد مقسوم عليه‌های دوازده از تعداد مقسوم عليه‌های ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و خودش بخش‌پذير است . بنابراين بسياری از محاسبات دستی در سيستم دوجينی تا حدودی ساده‌تر از سيستم دهدهی هستند ، عدد في كه در مبنای دهدهی به صورت عددهاي كسری متناوب در می‌آيد در مبنای دوجينی چنين نيست و مي‌توان به مقدار فيكس شده 1.75 دست يافت .

ماياهايي كه در خلال سالهاي 2000 تا 900 قبل از ميلاد ، ساكن آمريكاي جنوبي بوده‌اند ، چنين به نظر مي‌رسد كه براي رصد كردن حركات متغير اجرام آسماني ، اهرامي بنا نهادند و تقويم شمسي دقيقي وضع كردند . همچنين با محاسبات خود ، وقوع خسوف و كسوف را پيش بيني و مراسم قرباني كردن انسانها را تدارك مي‌ديده‌اند و عقيده بر اين داشتند كه اين كار آنها خشم خدايان را از آنها برطرف مي‌كند .

به يقين مي‌توان گفت كه مطالب و موضوعات بسيار مهمي در علوم بشريت در زمينه رياضيات ، هندسه و نجوم مفقود و از بين رفته است و فقط نشانه‌هاي تلخ و ناخوشايندي از آن دانسته‌ها در ساخته‌هاي دست بشر باقيمانده است كه در مباحث بعدي سعي خواهيم كرد اين دانسته‌هاي از بين رفته را بازيابي نماييم . البته ما بايد مابين علم و جنايت فرق قائل شويم .

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزيك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصله‌های خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و . كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .

اين الگو را مي توان در گلبرگ‌ها يا دانه‌هاي بسياري از گياهان مثلاً آناناس ، گل داوودي ، گل كلم ، ميوه‌هاي كاج و . مشاهده كرد .

خود انسان از ناف به نسبت في تقسيم مي‌شود . اين نسبت نقش پيچيده‌اي در پديده‌هايي مانند ساختار كريستال‌ها ، سال‌هاي نوري فاصله بين سيارات و پريودهاي چرخش ضريب شكست نور در شيشه ، تركيب‌هاي موسيقي ، ساختار سياره‌ها و حيوانات بازي مي‌كند . علم ثابت كرده است كه اين نسبت به راستي نسبت پايه و مبناي خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد في را يك نسبت الهي مي‌دانسته‌اند .

از زماني كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده دنباله فيبوناچي و عدد طلايي از نسبت طلايي كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شيفتگي و شيدايي بيشتري نسبت به كارهاي آنها از خود نشان دادند . مستطيل‌هاي طلايي ، مانند نسبت طلايي فوق‌العاده ارزشمند هستند . در بين مثال‌هاي بي‌شمار از وجود اين نسبت و يكي از برجسته‌ترين آنها مارپيچ هاي DNA است . اين دو مارپيچ فاصله دقيقي را با هم براساس نسبت طلايي حفظ مي‌كنند و دور يكديگر مي‌تابند .

در حالي كه نسبت طلايي و مستطيل طلايي جلوه‌هاي زيبايي را از طبيعت و ساخته‌هاي دست انسان به نمايش مي‌گذارد ، جلوه ديگري از اين شكوه وجود دارد كه زيبايي‌هاي تحرك را به نمايش مي‌گذارد . يكي از بزرگ‌ترين نمادهايي كه مي‌تواند رشد و حركات كاينات را نشان دهد ، اسپيرال طلايي است .

اسپيرال طلايي كه به آن اسپيرال لگاريتمي و اسپيرال متساوي‌الزاويه نيز مي‌گويند هيچ حدي ندارد و شكل ثابتي است . روي هر نقطه از اسپيرال مي توان به هر يك از دو سو تا بي‌نهايت حركت كرد . از يك سو هرگز به مركز نمي‌رسيم و از سوي خارجي نيز هرگز به انتها نمي‌رسيم . هسته اسپيرال لگاريتمي وقتي با ميكروسكوپ مشاهده مي‌شود همان منظره‌اي را دارد كه وقتي به اندازه هزاران سال نوري به جلو مي‌رويم . ديويد برگاميني در كتاب رياضياتش خاطرنشان مي‌كند كه منحني ستاره‌هاي دنباله‌دار از خورشيد كاملا شبيه به اسپيرال لگاريتمي است . عنكبوت شبكه تارهاي خود را به صورت اسپيرال لگاريتمي مي‌بافد . رشد باكتري‌ها دقيقاً براساس رشد منحني اسپيرال است . هنگامي كه سنگ‌هاي آسماني با سطح زمين برخورد مي‌كنند ، مسيري مانند اسپيرال لگاريتمي را طي مي كنند . عدد في Φ عددي مربوط به خلقت پروردگار يكتا است .

اسب‌هاي آبي ، صدف حلزون‌ها ، صدف نرم‌تنان ، موج‌هاي اقيانوس‌ها ، سرخس‌ها ، شاخ‌هاي جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ‌هاي گل آفتاب‌گردان و چيدمان گل مرواريد ، همه به صورت اسپيرال لگاريتمي است . گردباد و منظومه‌ها از نگاه بيرون كاملاً در مسيري به صورت اسپيرال حركت مي‌كنند . طرح مطالب در اين زمينه بسيار بسيار زياد است كه در آينده به آن خواهيم پرداخت .

یادگار آموزش

نسبت طلایی یا همان عدد 1.618 یکی از زیبایی‌های دنیای ریاضی است که در گوشه و کنار این دنیای بزرگ از اندام‌های بدن انسان تا آثار برجسته و مشهور هنری و معماری در سطح دنیا و حتی نحوه رشد دانه‌های گل آفتابگردان می‌توان ردپایی از آن پیدا کرد.

عدد طلایی یا نسبت طلایی 1.618 حاصل تلاش دانشمندانی ازجمله اقلیدس، لوکاپاچیولی و لئونارد و فیبوناچی است.محققان بر این باورند​ زیباترین سطوح و اشکال آنهایی است که نسبت طلایی در آنها به کار رفته باشد. اجسام و اشیایی که با این نسبت ساخته می شوند دارای تقارن و زیبایی خاصی هستند که از نظر چشم انسان بسیار زیبا جلوه گر می شوند.

عدد طلایی را معمولا با حرف یونانی "فی" و به صورت زیر نمایش می دهند.

حوزه های مختلف وجود نسبت طلایی

1-اگر در پاره خطی، نسبت قسمت بزرگ‌تر به کوچک‌تر برابر با نسبت کل خط به قسمت بزرگ باشد، این نسبت قطعا عدد طلایی و برابر 1.618 است.

2-تعریف دیگر آن از این قرار است که «عددی (ثابت) مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم، به مربع آن خواهیم رسید». a 2 = a+1

تعبیر هندسی مورد فوق مستطیل طلایی می باشد که عبارت است از مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طول آن است.

3-یکی دیگر از حوزه‌هایی که نشانی از نسبت طلایی در آن پیدا می‌کنید، دنباله فیبوناچی است. در این دنباله که عبارت است از 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21 و. اگر اعداد پس از 2 را در نظر بگیریم و هر کدام را به عدد ماقبل خود تقسیم کنیم، شاهد اعدادی بسیار نزدیک به عدد نسبت طلایی یا 1.618 خواهیم بود. هر چه بیشتر این تقسیم را ادامه دهید، عدد حاصل به نسبت طلایی نزدیک‌تر می‌شود.

نحوه ترسیم مستطیل طلایی و مارپیچ طلایی یا فیبوناچی

برای رسم مارپیچ طلایی یا فیبوناچی از راس ( گوشه ) هر مربع یک کمان به شعاعی برابر ضلع آن مربع رسم می‌کنیم. به این مارپیچ به دست آمده، اسپیرال لگاریتمی هم گفته می شود.

وجود نشانی از نسبت طلایی در بسیاری از ساختارهای هستی

از مارپیچ‌های دی‌ان‌ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان‌ها و تمام زیبایی‌های طبیعت ازجمله برگ‌های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ‌های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است.

این عدد در معماری باستان و معاصر ایران و جهان نیز کاربرد فراوانی داشته است. از آن جمله می‌توان به هرم جیزا در مصر، برج آزادی تهران، قلعه دالاهو در کرمانشاه، بنای بیستون کرمانشاه و مقبره ابن سینا در همدان اشاره کرد. برای مثال ابعاد بنای بیستون کرمانشاه پنج کیلومتر در سه کیلومتر ذکر شده که اعداد چهارم و پنجم دنباله فیبوناچی‌اند. با تقسیم این دو عدد​ به عدد 1.6 می‌رسیم که بسیار نزدیک به عدد طلایی است.

این عدد در بدن انسان نیز بسیار کاربرد دارد. زیبایی چهره، زیبایی خنده، تناسب اندام و خوش‌تیپی همه و همه از شاه کارهای الهی در آفرینش انسان است. اگر نگاهی به تاریخچه عدد طلایی بیندازید، می‌بینید لئوناردو داوینچی اولین نفری است که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری و ثابت کرد این نسبت ضریبی از عدد طلایی است.

در سنجش تناسب اندام خود می‌توانید فاصله انگشتان پا تا ناف را دنباله فيبوناچي و عدد طلايي بر فاصله ناف تا بالای سر تقسیم و حاصل را با عدد 1.618 مقایسه کنید. هر چه این عدد به 1.618 نزدیک‌تر باشد به این معنی است که شما تناسب اندام خوبی دارید. چنین نشانه‌هایی که در آنها می‌توان به نسبت طلایی رسید، در بدن انسان بسیار زیاد است.

‌یکی از دیگر ویژگی‌های جالب توجه نسبت طلایی این است دنباله فيبوناچي و عدد طلايي که اگر فاصله شهر مکه تا قطب شمال را بر فاصله این شهر تا قطب جنوب تقسیم کنیم، عددی بسیار نزدیک به عدد طلایی به دست می‌آید. بر این اساس می‌توان گفت شهر مکه در نقطه طلایی زمین قرار دارد. علاوه بر این، بررسی‌های انجام شده نشان داده است​ شهر مکه در نقطه طلایی عربستان و بنای کعبه در نقطه طلایی شهر مکه قرار دارد.

نسبت فاصله مکه تا قطب جنوب به فاصله آن تا قطب شمال دقیقا برابر ۱٫۶۱۸ است. علاوه بر این نسبت فاصله قطبین به فاصله مکه تا قطب جنوب بار دیگر برابر ۱٫۶۱۸ است.

فاصله مکه تا قطب جنوب=۱۲۳۴۸٫۳۲ کیلومتر

فاصله مکه تا قطب شمال=۷۶۳۱٫۶۸ کیلومتر

با توجه به نقشه ی عرضی و طولی زمین که توسط انسان ها طراحی شده نقطه ی نسبت طلایی زمین در مکه است.

نسبت فاصله غرب این نقشه تا مکه به فاصله شرق آن تا مکه باز برابر ۱٫۶۱۸ می باشد. علاوه بر این همانطور که در شکل می بینید، نسبت فاصله شرق تا غرب این نقشه به فاصله غرب نقشه تا مکه با کمال شگفتی باز برابر ۱٫۶۱۸ می باشد.

با توجه به تمام سیستم های نقشه برداری با کمی اختلاف جزئی اندازه گیری نقطه ی نسبت طلایی جهان همواره در محدوده ای از شهر مکه است که کعبه ی مقدس در آن محدوده می باشد.

در خانه اگر به اینترنت دسترسی داشته باشید به راحتی به وسیله ی نرم افزار گوگل ایرث می توانید به طور دقیق فاصله بین دو نقطه را به دست آورید. اگر بخواهید می توانید درستی این گفته ها را از این طریق و با استفاده از یک ماشین حساب ساده بررسی کنید. برای این کار از ابزار خط کش گوگل ایرث استفاده کنید و روی نقطه ی مبدأ و سپس روی نقطه ی مقصد کلیک کنید، در کادری که باز است فاصله را به کیلومتر خواهید دید.

مهدی ابراهیمی دنباله فيبوناچي و عدد طلايي صیقلان
Mahdi ebrahimi seyghalan

تلاش دارد تا مطالب و نکاتی در خصوص مسائل آموزشی، علمی ،مدیریت ، اخلاقی و . ارائه نماید

نسبت طلایی، معیار زیبایی در همه چیز!

Golden Ratio یا نسبت طلایی چیست ؟ آیا نسبت طلایی در بدن انسان رعایت شده است؟ راز این عدد در چیست؟
عدد فی phi ( با نشانه (ϕ) )که اغلب به عنوان نسبت طلایی شناخته می شود یک مفهوم ریاضی است که از زمان یونان باستان آن را می شناسیم. این عدد همانند عدد پی و عدد e یک عدد گنگ است که در هنگام بیان آن به صورت اعشاری، اعداد بعد از علامت اعشار به صورت نامتناهی ادامه می یابد و هرگز تکرار نمی شود.

در طی قرن های متمادی هاله ای از ابهام آمیخته با عرفان و ذوق زیبایی شناسی در اطراف عدد فی و نسبت طلایی شکل گرفته است. به عنوان مثال توصیه می کنم که کتاب کد دواینچی اثر دن براون، که سال ۲۰۰۶ فیلمی با بازی تام هنکس نیز از روی آن ساخته شد را بخوانید . نویسنده در این کتاب به طرز ماهرانه ای بسیاری از معما های تاریخ از جمله معما های نهفته در تابلوی های لئوناردو داوینچی را با کمک این عدد رمز گشایی می کند و در قسمتی از کتاب به صورت کامل به اهمیت و نقش این عدد در تاریخ هنر و علم اشاره می کند.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

عدد فی چیست؟

به ساده ترین شکل ممکن می توان عدد فی را با کمک یک تکه چوب تعریف کرد. اگر این تکه چوب را شکسته به دو بخش تقسیم کنیم آن گاه نسبت بین این دو بخش برابر با نسبت بخش بزرگ تر که همان نسبت طلایی است. به نظر می رسد برای اولین بار این اقلیدس ریاضی دان یونانی بود که موفق به توصیف این موضوع شد و به گفته جورج مارکوفسکی George Markowsky از دانشگاه ماین، آن را ” تقسیم در نسبت حداکثر به متوسط ” یا ” the division in extreme and mean ratio ” نامید.

بر اساس نظر رون کنوت Ron Knott استاد ریاضیات دانشگاه Surrey بریتانیا می توان نسبت طلایی را به عنوان عددی در نظر گرفت که می تواند مربع باشد؛ بنابراین می توان فی را را به صورت زیر بیان کرد:

این نمایه را می توان با دو راه حل ۲/(۱ + √۵) و ۲/(۱ – √۵) به یک معادله درجه دوم تنظیم کرد. راه حل اول عدد گنگ مثبت …۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷ را ارائه می دهد. سه نقطه ای که در سمت راست عدد آورده شده است نشان می دهد که این عدد تا بی نهایت ادمه دارد؛ این عدد به طور کلی چیزی است که به عنوان فی شناخته می شود.

اما راه حل منفی عدد …۰٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷- را حاصل خواهد کرد؛ (توجه کنید که چگونه اعداد بعد از نقطه اعشار یکسان هستند) و گاهی اوقات به عنوان فی کوچک little phi شناخته می شوند.

یکی از راه های نهایی و ظریف برای نمایش فی به شرح زیر است:

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

عدد فی و دنباله فیبوناچی

عدد فی از نزدیک با دنباله فیبوناچی مرتبط است، که در آن هر عدد بعدی در دنباله با اضافه کردن دو عدد قبلی در کنار هم ساخته می شوند. این دنباله عبارتند از :

سه نقطه ای که در سمت راست آورده شده است نشان می دهد که این دنباله تا بی نهایت ادمه دارد.

با در نظر گرفتن نسبت اعداد فی در دنباله فیبوناچی، می توانید به فی نزدیک و نزدیک شوید. جالب است بدانید که اگر دنباله فیبوناچی را به سمت عقب بکشید – یعنی قبل از صفر و به اعداد منفی – نسبت آن اعداد شما را به راه حل منفی ( که در بالا به آن اشاره کردیم ) نزدیک می کند.

سه نقطه دنباله فيبوناچي و عدد طلايي ای که در سمت راست عدد آورده شده است نشان می دهد که این عدد تا بی نهایت ادمه دارد.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

آیا نسبت طلایی در طبیعت وجود دارد؟

اگرچه ریاضی دانان از مدت ها قبل با عدد فی آشنا بودند این این عدد شهرت خود را بیش از همه مدیون قرن های اخیر است. در سال ۱۵۰۹ یک ریاضی دان ایتالیایی به نام لوکا پاسیولی Luca Pacioli کتابی در خصوص نسبت طلایی با عنوان “De Divina Proportione” که در زبان ایتالیایی به معنای (“نسبت الهی”) است نوشت که موجب شهرت عدد فی شد.

پاسیولی از نقاشی های لئوناردو داوینچی استفاده کرد و نشان داد که داوینچی از عدد فی در آثارش استفاده کرده است. پاسیولی دنباله فيبوناچي و عدد طلايي در کتاب خود نوشته است که داوینچی احتمالاً اولین کسی بوده است که از عنوان “sectio aurea” ( یک لغت لاتین به معنای ” بخش طلایی ” ) برای اشاره به عدد فی استفاده کرده است. بعد ها و در حوالی سال ۱۸۰۰ میلادی مارک بار Mark Barr، ریاضیدان آمریکایی از حرف یونانی Φ برای نشان دادن این عدد استفاده نمود.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

بعد ها اما نسبت طلایی با کمک کتاب ” کد داوینچی ” نوشته دن براون و فیلم جنجال بر انگیز آن به شهرت بیشتری رسید و سبب شد که مردم تصور کنند نسبت طلایی همچون یک راز ناگشوده خلقت در بسیاری از موجودات زنده و غیر زنده عالم وجود دارد. در کتاب دن براون شخصیت اصلی این طور ادعا می کند که در گذشته نسبت طلایی به عنوان معیار برای سنجش زیبایی در نظر گرفته می شد و افراد می توانستند با کمی دقت ردپای محسوس آن را در همه چیز ببینند.
چنین موضوعاتی البته بیشتر و بیشتر به شهرت نسبت طلایی افزود و سبب شد که افراد به صورت ناخودآگاه به دنبال کشف آن در آثار معماری، آثار هنری، طبیعت و چهره افراد بروند، و حتی با کمک ابزارهایی که معیار سنجش آن ها عدد فی بود به تعیین زیباترین چهره ها بر اساس نسبت طلایی بپردازند.

بسیاری از علاقمندان تئوری وجود نسبت طلایی یا عدد فی در هنر و معماری ادعا کردند که بسیاری از آثار معماری به خصوص هرم جیزه مصر بنا بر همین نسب طلایی ساخته شده است و برخی نیز ادعا می کنند که معبد پارتنون آتن نیز از نسبت طلایی بهره گرفته است.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

اما همانطور که مارکوفسکی در مقاله خود در سال ۱۹۹۲ در مجله ریاضیات کالج با عنوان “برداشت های غلط درباره نسبت طلایی” عنوان کرد: “اندازه گیری اشیاء واقعی فقط می تواند تقریبی باشد. سطوح اشیاء واقعی هرگز کاملاً مسطح نیستند.” وی در ادامه نوشت: عدم دقت در اندازه گیری ها باعث عدم دقت بیشتر در هنگام قرار گیری این اندازه گیری ها می شود، بنابراین ادعاهای مربوط به ساختمان های باستانی یا آثار هنری ای که همگی بر اساس نسبت طلایی یا عدد فی ساخته شده اند؛ نمی تواند صحیح باشد.

ابعاد شاهکارهای معماری غالباً به عدد فی نزدیک است، اما همانطور که مارکوفسکی ادعا کرده است وقتی روی این عدد حساسیت ایجاد شد افراد خواه و ناخواه به دنبال آن بودند که در هر چیزی از جمله بناهای معماری نسبتی را پیدا کنند که به ۱٫۶ نزدیک باشد و بگوید دیدید! عدد فی در این جا هم مصداق دارد. درست مثل این که شما قصد خرید یک مدل خاصی از اتومبیل داشته باشید و از فردا مدام در کوچه و خیابان این مدل از اتومبیل را در همه جا می بینید در حالی که روز های قبل کم تر متوجه آن می شدید؛ این در حقیقت نتیجه حساس شدن روی یک موضوع خاص است و ما نمونه های زیادی از شاهکارهای معماری را داریم که در آن ها نمی توان اثری از عدد فی دید.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

نسبت طلایی در بدن انسان

تلاش برای یافتن نسبت طلایی در بدن انسان نیز در معرض اشتباهات مشابه است. یک مطالعه جدید ادعا کرده است که نسبت طلایی را در نسبت های مختلف جمجمه انسان پیدا کرده است اما دیل ریتر Dale Ritter استاد آناتومی انسان در دانشکده پزشکی آلپرت، دانشگاه براون در رود آیلند در این خصوص اظهار کرده است: ” در حقیقت مدارک و شواهدی بسیار کمی برای پذیرش این ادعا وجود دارد؛ بله مسلماً مواردی دال بر این که عدد فی در برخی از اندازه های بدن ما نقش دارد اما این موارد بسیار محدود هستند و نمی تون آن ها را به چیز های دیگر تعمیم داد. اگر واقعاً می خواهید بدانید که آیا عدد فی در بدن انسان و اندازه های آن نقشی دارد و این نقش در کجاست باید بگویم می توان ادعا کرد که وجود این نسبت در استخوان های ما و سایر بخش های اسکلت انسان اثبات شده است.”

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

اخیراً از عدد فی برای تشخیص زیباترین چهره های جهان استفاده شد که در طی آن جورج کلونی با ۹۱.۸۶ از ۱۰۰ درصد از و امبر هرد با ۹۱٫۸۵ از ۱۰۰ درصد از نسبت طلایی به ترتیب زیباترین مرد و زیباترین زن جهان شناخته شده اند. بر اساس این آزمایش چهره این دو فرد بیشترین تناسب و همخوانی را با نسبت طلایی داشته اند.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

نسبت طلایی در طبیعت

گلبرگهای گل اغلب در عدد فیبوناچی مانند پنج یا هشت قرار می گیرند و مخروط کاج بذرهای خود را به صورت مارپیچ های اعداد فیبوناچی در می آورند؛ اما به گفته کیت دونلین Keith Devlin ریاضیدان دانشگاه استنفورد گیاهان زیادی وجود دارند که از این قاعده پیروی نمی کنند.
برخی از افراد هم ادعا می کنند که صدف های دریایی، مانند ناتیلوس در شکل ظاهر خود طوری است که عدد فی در آن وجود دارد اما طبق اظهارات کیت دونلین این صف از مارپیچ لگاریتمی پیروی می کند، یعنی مارپیچی که با زاویه ثابت در تمام طول آن چرخش می یابد و به همین صورت کل صدف را به یک صورت در می آورد اما اثری از نسبت طلایی در آن نیست.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

اگر چه عدد فی و نسبت طلایی موضوعی جالب و شگفت انگیز است اما در همه موضوعات و موارد صدق نمی کند. این ما انسان ها هستیم که با توجه نشان داد به یک موضوع آن را جالب توجه می نماییم و هر چه تعداد افرادی که به یک موضوع ( همانند نسبت طلایی ) اهمیت می دهند بیشتر باشد؛ خیلی زود توجه سایرین هم به صورت تصاعدی به آن جلب می شود. اما اگر با ذهنی باز و حقیقت طلبانه به موضوع نگاه کنیم متوجه می شویم که ذهن ما نسبت به وجود یک فرمول جادویی مانند فرمول نسبت طلایی تعصب پیدا کرده است. همین موضوع هم سبب شد که بسیاری از افراد در طی قرن ها تنها از دید یافتن عدد فی در اشیاء، موجودات، طبیعت و آثار و شاهکار های هنری و معماری به همه چی نگاه کنند نه از دید بی طرفانه.

نسبت طلایی چیست – نسبت طلایی در بدن انسان

اگر با دید بی طرفانه به پیرامون خود نگاه کنیم خواهیم دید که در بسیاری از شاهکار های هنری و معماری و در طبیعت و بخش های زیادی از بدن ما، این نسبت وجود ندارد؛ حتی هم من و هم شما چهره هایی را می شناسیم که نه جورج کلونی هستند و نه امبر هرد اما می دانیم که این چهره ها، چهره های به راستی زیبایی هستند.